MODUS

April 14, 2011

Modus adalah fenomena yang paling banyak terjadi atau terdapat. Modus dapat digunakan untuk data kuantitatif maupun data kualitatif. Namun demikian, dalam kehidupan sehari-hari, modus lebih banyak dipakai pada data kualitatif. Sebagai contoh, kita sering mendengar bahwa penyebab utama kematian di Indonesia adalah penyakit malaria. Ini menunjukkan bahwa penyakit malaria adalah modus penyebab utama kematian di Indonesia.

Untuk data kuantitatif, modus ditentukan dengan cara melihat frekuensi dari data. Frekuensi terbanyak dari suatu data merupakan modusnya.

Contoh,

Data diameter pohon karet adalah sebagai berikut.

50 52 50 48 56 50 45 52 53 48

Diameter pohon

(cm)

Frekuensi

(fi)

45

1

48

2

50

3

52

2

53

1

56

1

Dari data diameter pohon karet di atas, frekuensi terbanyak, yaitu fi = 3 adalah pohon karet yang berdiameter 50 cm. Dengan demikian, modus dari data diameter pohon karet di a tas adalah 50.

RATA-RATA HITUNG

April 12, 2011

Rata-rata hitung kadang-kadang disebut juga rata-rata atau rerata. Selanjutnya, saya memilih menggunakan kata rerata, agar hemat kata. Rerata adalah suatu nilai hasil dari membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Simbol rerata untuk populasi adalah µ (baca: mu), sedangkan untuk sampel adalah clip_image002 (baca: ye garis). Karena, umumnya kita lebih banyak terlibat dengan data sampel, maka rerata sampel akan lebih banyak digunakan. Rumus untuk menghitung rerata adalah sebagai berikut.

rumus rerata11

 

Atau lebih sederhana lagi ditulis:

rumus rerata 22

 

Contoh

Ada 5 buah tomat, yang beratnya (dalam gram) adalah 70 60 40 80 50, maka rerata berat buah tomat tersebut adalah

rerata33

STATISTIKA DESKRIPTIF

April 12, 2011

Statistika deskriptif adalah bentuk statistika yang paling mula-mula berkembang sebelum adanya statistika inferensia. Bahkan, Sokal dan Rohlf (1981) menyatakan bahwa statistika deskriptif adalah an early and fundamental stage in any science. Maksudnya statistika deskriptif ini merupakan tahapan awal dan mendasar dalam semua bidang ilmu pengetahuan.

Apapun jenis dan bidang yang ingin kita kembangkan, kita harus mengenalinya dengan baik. Untuk mengenali sesuatu dengan baik, kita memerlukan perangkat ikhtisar yang baik pula, agar kita dapat mengelolanya ataupun membaginya kepada orang lain secara baik pula. Ikhtisar dalam bentuk kualitatif seperti grafik atau tabel dapat digunakan, namun dalam banyak hal, ikhtisar yang kuantitatif sangat diperlukan untuk menggambarkan sesuatu secara tepat dan akurat. Ikhtisar kuantitatif yang dapat memberikan gambaran yang demikian disebut dengan STATISTIKA DESKRIPTIF.

Statistika deskriptif meliputi dua jenis, yaitu statistika lokasi dan statistika dispersi. Statistika lokasi dapat berupa rata-rata, modus, dan median. Statistika lokasi ini kadang-kadang disebut juga dengan ukuran gejala pusat. Hal ini karena baik rata-rata, modus, maupun median adalah ukuran yang mendeskripsikan nilai tengah atau nilai pusat dari suatu kumpulan data. Akan tetapi, statistika lokasi ini tidak bisa mendiskripsikan bentuk dari distribusi.

Statistika dispersi dapat melengkapi kekurangan statistika lokasi. Statistika dispersi dapat memberikan informasi lebih rinci mengenai bentuk distribusi dari sekumpulan data. Di antara ukuran dispersi yang banyak dipakai adalah kuartil, desil, dan persentil. Ukuran dispersi yang lebih modern adalah standar deviasi, varians, dan koefisien keragaman.

Korelasi Pearson

Desember 31, 2010

Contoh kasus

Seorang peneliti ingin mengetahui apakah ada hubungan antara banyaknya jumlah pupuk urea yang diberikan pada tanaman terhadap hasil yang diperoleh. Pada penelitiannya ia mencoba pupuk urea butiran pada tanaman cabai merah.

Hipotesis

Ho : r =0, tidak ada hubungan antara dosis pupuk urea dengan hasil cabai

HA : r ≠0, ada hubungan antara dosis pupuk urea dengan hasil cabai

Hasil Percobaan

Hasil percobaan yang ia peroleh adalah sebagai berikut (data rekaan)

data urea vs cabai

Analisis

analisis pearson

rumus r

rhithit

r tabel = rα(df) = r0.05(n-2) =r0.05(14-2) = r0.05(12) = 0.5324

Kriteria Pengambilan Kesimpulan

Terima H0, jika r < r table

Tolah H0, alias terima HA, jika r ≥ r table

Kesimpulan

Karena Nilai r > r table, maka tolak H0, alias terima HA

Jadi, ada hubungan yang NYATA antara dosis pupuk urea dengan hasil cabai

Karena r bernilai positif, maka kita dapat menyatakan bahwa hubungan keduanya positif, yaitu semakin banyak dosis pupuk urea yang diberikan, maka semakin tinggi hasil cabai yang diperoleh.

Uji r

Desember 31, 2010

Uji r atau uji korelasi digunakan untuk mempelajari hubungan antara dua variabel atau lebih. Hubungan yang dipelajari adalah hubungan yang linier atau garis lurus. Oleh karena itu, uji r ini sering disebut juga uji korelasi linier. Bila hubungan dua variabel yang sedang dipelajari tidak linier, maka uji ini tidak cocok dipakai, sehingga harus dicari uji lain, seperti uji kuadratik atau uji nonlinier. Perlu dipahami juga bahwa uji korelasi ini hanya dipakai untuk variabel kuantitatif. Artinya, uji ini baru bisa dipakai bila variabel yang sedang dipelajari itu keduanya adalah variabel kuantitatif. Bila tidak, maka uji lain seperti uji χ2 harus dipilih.

Ada dua jenis uji korelasi, yaitu Korelasi Pearson dan Korelasi Spearman. Korelasi Spearman. Bila data berdistribusi normal atau mendekati normal, maka Korelasi Pearson menjadi pilihan, tetapi bila distribusi data sangat ekstrem tidak normal, maka Korelasi Spearman jadi pilihan.

Ukuran korelasi disebut koefisien korelasi, disingkat dengan r. Nilai r berkisar antara –1 sampai +1, termasuk 0. Semakin besar nilai r (mendekati angka 1), maka semakin erat hubungan kedua variabel tersebut. Sebaliknya, semakin kecil nilai korelasi (mendekati angka 0), maka semakin lemah hubungan kedua variabel tersebut. Perlu diketahui bahwa kendatipun nilai r besar, yang menunjukkan ada hubungan yang erat, tetapi kita tidak dapat serta merta menyatakan bahwa hubungan yang terjadi adalah hubungan sebab-akibat antara dua variabel tersebut.

Nilai r ini bisa bertanda positif, tetapi juga bisa negatif. Berikut adalah interpretasi dari tanda pada koefisien korelasi.

1. Jika nilai r = + (positif), maka hubungannya adalah berbanding lurus. Artinya, semakin besar nilai variabel X, maka semakin besar pula nilai variabel Y atau semakin kecil nilai variabel X maka semakin kecil pula nilai variabel Y .

2. Jika nilai r = – (negatif) maka hubungannya adalah berbanding terbalik. Artinya semakin besar nilai variabel X , maka semakin kecil nilai variabel Y atau semakin kecil nilai variabel X, maka semakin besar nilai variabel Y.

3. Jika nilai r = 0, artinya tidak ada hubungan sama sekali antara variabel X dan variabel Y.

UJI Z

Desember 29, 2010

Pendahuluan

Uji Z adalah salah satu  uji statistika yang  pengujian hipotesisnya didekati dengan distribusi normal.  Menurut teori limit terpusat, data dengan ukuran sampel yang besar akan berdistribusi normal.  Oleh karena itu, uji Z dapat digunakan utuk menguji data yang sampelnya berukuran besar.  Jumlah sampel 30 atau lebih dianggap sampel berukuran besar.  Selain itu, uji Z ini dipakai untuk menganalisis data yang varians populasinya diketahui.  Namun, bila varians populasi tidak diketahui, maka varians dari sampel dapat digunakan sebagai penggantinya.

Kriteria Penggunaan uji Z

1.  Data berdistribusi normal

2.  Variance  (σ2) diketahui

3.  Ukuran sampel (n) besar, ≥ 30

4.  Digunakan hanya untuk membandingkan 2 buah observasi.

Contoh Penggunaan Uji Z

1. Uji-Z dua pihak

Contoh kasus

Sebuah pabrik pembuat bola lampu pijar merek A menyatakan bahwa produknya tahan dipakai selama 800 jam, dengan standar deviasi 60 jam. Untuk mengujinya, diambil sampel sebanyak 50 bola lampu, ternyata diperoleh bahwa rata-rata ketahanan bola lampu pijar tersebut adalah 792 jam. Pertanyaannya, apakah kualitas bola lampu tersebut sebaik yang dinyatakan pabriknya atau sebaliknya?

Hipotesis

H0 :  = μ (rata ketahanan bola lampu pijar tersebut sama dengan yang dinyatakan oleh pabriknya)

HA :  ≠ μ  (rata ketahanan bola lampu pijar tersebut tidak sama dengan yang dinyatakan oleh pabriknya)

Analisis

harga z contoh

Nilai Ztabel dapat diperoleh dari Tabel 1.   Dengan menggunakan Tabel 1, maka nilai Z0,025 adalah nilai pada perpotongan α baris 0,02 dengan α kolom 0,005, yaitu 1,96.  Untuk diketahui bahwa nilai Zα adalah tetap dan tidak berubah-ubah, berapapun jumlah sampel.  Nilai Z0,025 adalah 1,96 dan nilai Z0,05 adalah 1,645.

Tabel 1.  Nilai Z dari luas di bawah kurva normal baku

α

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.00

3.090

2.878

2.748

2.652

2.576

2.512

2.457

2.409

2.366

0.01

2.326

2.290

2.257

2.226

2.197

2.170

2.144

2.120

2.097

2.075

0.02

2.054

2.034

2.014

1.995

1.977

1.960

1.943

1.927

1.911

1.896

0.03

1.881

1.866

1.852

1.838

1.825

1.812

1.799

1.787

1.774

1.762

0.04

1.751

1.739

1.728

1.717

1.706

1.695

1.685

1.675

1.665

1.655

0.05

1.645

1.635

1.626

1.616

1.607

1.598

1.589

1.580

1.572

1.563

0.06

1.555

1.546

1.538

1.530

1.522

1.514

1.506

1.499

1.491

1.483

0.07

1.476

1.468

1.461

1.454

1.447

1.440

1.433

1.426

1.419

1.412

0.08

1.405

1.398

1.392

1.385

1.379

1.372

1.366

1.359

1.353

1.347

0.09

1.341

1.335

1.329

1.323

1.317

1.311

1.305

1.299

1.293

1.287

0.10

1.282

1.276

1.270

1.265

1.259

1.254

1.248

1.243

1.237

1.232

Kriteria Pengambilan Kesimpulan

Jika |Zhit|  < |Ztabel|, maka terima H0

Jika |Zhit|  ≥ |Ztabel|, maka tolak H0 alias terima HA

Kesimpulan

Karena harga |Zhit| = 0,94  < harga |Ztabel | = 1,96, maka terima H0

Jadi, tidak ada perbedaan yang nyata antara kualitas bola lampu yang diteliti dengan kualitas bola lampu yang dinyatakan oleh pabriknya.

2. Uji Z satu pihak

Contoh kasus

Pupuk Urea mempunyai 2 bentuk, yaitu bentuk butiran dan bentuk tablet.  Bentuk butiran lebih dulu ada sedangkan bentuk tablet adalah bentuk baru.  Diketahui bahwa hasil gabah padi yang dipupuk dengan urea butiran rata-rata 4,0 t/ha.  Seorang peneliti yakin bahwa urea tablet lebih baik daripada urea butiran.  Kemudian ia melakukan penelitian dengan ulangan n=30 dan hasilnya adalah sebagai berikut:

Hasil gabah padi dalam t/ha

4,0 5,0 6,0 4,2 3,8 6,5 4,3 4,8 4,6 4,1
4,9 5,2 5,7 3,9 4,0 5,8 6,2 6,4 5,4 4,6
5,1 4,8 4,6 4,2 4,7 5,4 5,2 5,8 3,9 4,7

Hipotesis

H0 :  =   (rata-rata hasil gabah padi yang dipupuk dengan pupuk urea tablet sama dengan padi yang dipupuk dengan urea butiran)

HA :  >    (rata-rata hasil gabah padi yang dipupuk dengan pupuk urea tablet lebih tinggi dari padi yang dipupuk dengan urea butiran)

Analisis

= 4,0 t/h

= 4,9 t/h

S   = 0,78 digunakan sebagai estimasi σ

Zhit = (yt – yb)/(σ/√n) = (4,0 – 4,9)/(0,78/√30 = – 6,4286

Ztabel = Zα= Z0,05 = 1,645

Kriteria Pengambilan Kesimpulan

Jika |Zhit|  < |Ztabel|, maka terima H0

Jika |Zhit|  ≥ |Ztabel|, maka tolak H0 alias terima HA

Kesimpulan

Karena harga |Zhit| = 6,4286  > harga |Ztabel | = 1,645, maka tolak H0 alias terima HA

Jadi, rata-rata hasil gabah padi yang dipupuk dengan pupuk urea tablet nyata lebih tinggi dari padi yang dipupuk dengan urea butiran

Tabel r

Desember 27, 2010

Nilai Koefisien Korelasi ® untuk taraf signifikan tertentu

df 0.10 0.05 0.02 0.01
1 0.9877 0.9969 0.9995 0.9999
2 0.9000 0.9500 0.9800 0.9900
3 0.8054 0.8783 0.9343 0.9587
4 0.7293 0.8114 0.8822 0.9172
5 0.6694 0.7545 0.8329 0.8745
6 0.6215 0.7067 0.7887 0.8343
7 0.5822 0.6664 0.7498 0.7977
8 0.5494 0.6319 0.7155 0.7646
9 0.5214 0.6021 0.6851 0.7348
10 0.4973 0.5760 0.6581 0.7079
11 0.4762 0.5529 0.6339 0.6835
12 0.4575 0.5324 0.6120 0.6614
13 0.4409 0.5140 0.5923 0.6411
14 0.4259 0.4973 0.5742 0.6226
15 0.4124 0.4821 0.5577 0.6055
16 0.4000 0.4683 0.5425 0.5897
17 0.3887 0.4555 0.5285 0.5751
18 0.3783 0.4438 0.5155 0.5614
19 0.3687 0.4329 0.5034 0.5487
20 0.3598 0.4227 0.4921 0.5368
21 0.3515 0.4132 0.4815 0.5256
22 0.3438 0.4044 0.4716 0.5151
23 0.3365 0.3961 0.4622 0.5052
24 0.3297 0.3882 0.4534 0.4958
25 0.3233 0.3809 0.4451 0.4869
26 0.3172 0.3739 0.4372 0.4785
27 0.3115 0.3673 0.4297 0.4705
28 0.3061 0.3610 0.4226 0.4629
29 0.3009 0.3550 0.4158 0.4556
30 0.2960 0.3494 0.4093 0.4487
31 0.2913 0.3440 0.4032 0.4421
32 0.2869 0.3388 0.3972 0.4357
33 0.2826 0.3338 0.3916 0.4296
34 0.2785 0.3291 0.3862 0.4238
35 0.2746 0.3246 0.3810 0.4182
36 0.2709 0.3202 0.3760 0.4128
37 0.2673 0.3160 0.3712 0.4076
38 0.2638 0.3120 0.3665 0.4026
39 0.2605 0.3081 0.3621 0.3978
40 0.2573 0.3044 0.3578 0.3932
41 0.2542 0.3008 0.3536 0.3887
42 0.2512 0.2973 0.3496 0.3843
43 0.2483 0.2940 0.3457 0.3801
44 0.2455 0.2907 0.3420 0.3761
45 0.2429 0.2876 0.3384 0.3721
46 0.2403 0.2845 0.3348 0.3683
47 0.2377 0.2816 0.3314 0.3646
48 0.2353 0.2787 0.3281 0.3610
49 0.2329 0.2759 0.3249 0.3575
50 0.2306 0.2732 0.3218 0.3542
51 0.2284 0.2706 0.3188 0.3509
52 0.2262 0.2681 0.3158 0.3477
53 0.2241 0.2656 0.3129 0.3445
54 0.2221 0.2632 0.3102 0.3415
55 0.2201 0.2609 0.3074 0.3385
56 0.2181 0.2586 0.3048 0.3357
57 0.2162 0.2564 0.3022 0.3328
58 0.2144 0.2542 0.2997 0.3301
59 0.2126 0.2521 0.2972 0.3274
60 0.2108 0.2500 0.2948 0.3248
61 0.2091 0.2480 0.2925 0.3223
62 0.2075 0.2461 0.2902 0.3198
63 0.2058 0.2441 0.2880 0.3173
64 0.2042 0.2423 0.2858 0.3150
65 0.2027 0.2404 0.2837 0.3126
66 0.2012 0.2387 0.2816 0.3104
67 0.1997 0.2369 0.2796 0.3081
68 0.1982 0.2352 0.2776 0.3060
69 0.1968 0.2335 0.2756 0.3038
70 0.1954 0.2319 0.2737 0.3017
71 0.1940 0.2303 0.2718 0.2997
72 0.1927 0.2287 0.2700 0.2977
73 0.1914 0.2272 0.2682 0.2957
74 0.1901 0.2257 0.2664 0.2938
75 0.1888 0.2242 0.2647 0.2919
76 0.1876 0.2227 0.2630 0.2900
77 0.1864 0.2213 0.2613 0.2882
78 0.1852 0.2199 0.2597 0.2864
79 0.1841 0.2185 0.2581 0.2847
80 0.1829 0.2172 0.2565 0.2830
81 0.1818 0.2159 0.2550 0.2813
82 0.1807 0.2146 0.2535 0.2796
83 0.1796 0.2133 0.2520 0.2780
84 0.1786 0.2120 0.2505 0.2764
85 0.1775 0.2108 0.2491 0.2748
86 0.1765 0.2096 0.2477 0.2732
87 0.1755 0.2084 0.2463 0.2717
88 0.1745 0.2072 0.2449 0.2702
89 0.1735 0.2061 0.2435 0.2687
90 0.1726 0.2050 0.2422 0.2673
91 0.1716 0.2039 0.2409 0.2659
92 0.1707 0.2028 0.2396 0.2645
93 0.1698 0.2017 0.2384 0.2631
94 0.1689 0.2006 0.2371 0.2617
95 0.1680 0.1996 0.2359 0.2604
96 0.1671 0.1986 0.2347 0.2591
97 0.1663 0.1975 0.2335 0.2578
98 0.1654 0.1966 0.2324 0.2565
99 0.1646 0.1956 0.2312 0.2552
100 0.1638 0.1946 0.2301 0.2540
1000 0.0519 0.0619 0.0734 0.0812
10000 0.0164 0.0196 0.0233 0.0258

Distribusi Normal

Desember 27, 2010

Distribusi normal adalah distribusi dari variabel acak kontinu.  Kadang-kadang distribusi normal disebut juga dengan distribusi Gauss.  Distribusi ini merupakan distribusi yang paling penting dan paling banyak digunakan di  bidang statistika.

Fungsi densitas distribusi normal diperoleh dengan persamaan sebagai berikut

p.normal

dimana

π = 3,1416

e = 2,7183

µ = rata-rata

σ = simpangan baku

Persamaan di atas bila dihitung dan diplot pada grafik akan terlihat seperti pada Gambar 1 berikut.

kurva normal umum

Gambar 1. kurva distribusi normal umum

Sifat-sifat penting distribusi normal adalah sebagai berikut:

1. Grafiknya selalu berada di atas sumbu x

2. Bentuknya simetris pada x = µ

3. Mempunyai satu buah modus, yaitu pada x = µ

4. Luas grafiknya sama dengan satu unit persegi, dengan rincian

a. Kira-kira 68% luasnya berada di antara daerah µ – σ dan µ + σ

b. Kira-kira 95% luasnya berada di antara daerah µ – 2σ dan µ + 2σ

c. Kira-kira 99% luasnya berada di antara daerah µ – 3σ dan µ + 3σ

Membuat kurva normal umum bukanlah suatu pekerjaan yang mudah.  Lihat saja rumus untuk mencari fungsi densitasnya (nilai pada sumbu Y) begitu rumit.  Oleh karena itu, orang tidak banyak menggunakannya.

Orang lebih banyak menggunakan DISTIBUSI NORMAL BAKU.  Kurva distribusi normal baku diperoleh dari distribusi normal umum dengan cara transformasi nilai x menjadi nilai z, dengan formula sbb:

formula z

Kurva distribusi normal baku disajikan pada Gambar 2 berikut ini.

kurva normal baku ok

Gambar 2.  Kurva distribusi normal baku

Kurva distribusi normal baku lebih sederhana dibanding kurva normal umum.  Pada kurva distribusi normal baku, nilai µ = 0 dan nilai σ=1, sehingga terlihat lebih menyenangkan.  Namun, sifat-sifatnya persis sama dengan sifat-sifat distribusi normal umum.

Untuk keperluan praktis, para ahli statistika telah menyusun Tabel distribusi normal baku dan tabel tersebut dapat ditemukan hampir di semua buku teks Statistika.  Tabel distribusi normal bakui disebut juga dengan Tabel Z dan dapat digunakan untuk mencari peluang di bawah kurva normal secara umum, asal saja nilai µ dan σ diketahui. Sebagai catatan nilai µ dan σ dapat diganti masing-masing dengan nilai clip_image002 dan S.

Uji t Tidak Berpasangan

November 4, 2010

Uji t dikembangkan oleh William Sealy Gosset. Dalam artikel publikasinya, ia menggunakan nama samaran Student, sehingga kemudian metode pengujiannya dikenal dengan uji t-student. William Sealy Gosset menganggap bahwa untuk sampel kecil, nilai Z dari distribusi normal tidak begitu cocok. Oleh karenanya, ia kemudian mengembangkan distribusi lain yang mirip dengan distribusi normal, yang dikenal dengan distribusi t-student. Distribusi student ini berlaku baik untuk sampel kecil maupun sampel besar. Pada n ≥ 30, distribusi t ini mendekati distribusi normal dan pada n yang sangat besar, misalnya n=10000, nilai distribusi t sama persis dengan nilai distribusi normal (lihat tabel t pada df 10000 dan bandingkan dengan nilai Z).

Pemakaian uji t ini bervariasi. Uji ini bisa digunakan untuk objek studi yang berpasangan dan juga bisa untuk objek studi yang tidak berpasangan. Berikut contoh penggunaan uji t.

Uji t tidak berpasangan

Contoh kasus

Kita ingin menguji dua jenis pupuk nitrogen terhadap hasil padi

1. Hipotesis

Ho : clip_image002[22]1 =clip_image002[22]2

HA : clip_image002[22]1 ≠ clip_image002[22]2

2. Hasil penelitian tertera pada Tabel 1.

Tabel 1. Data hasil penelitian dua jenis pupuk nitrogen terhadap hasil padi (t/h)

Plot

Pupuk A 

Y1

Pupuk B 

Y2

1

7 8
2 6

6

3

5 7
4 6

8

5

5 6
6 4

6

7

4 7
8 6

7

9

6 8
10 7

7

11

6

6

12 5

7

3. Data analisis adalah sebagai berikut

Hitunglah

clip_image002[22]1= 5.58

S1 = 0.996

clip_image002[22]2 = 6.92

S2 = 0.793

thit =( clip_image002[22]1clip_image002[22]2)/√(S12/n1) +(S22/n2)

=( 5.58 – 6.92)/√(0.9962/12)+(0.7932/12)

= -1.34/0.367522 = -3.67

Setelah itu, kita lihat nilai t table, sebagai nilai pembanding. Cara melihatnya adalah sebagai berikut. Pertama kita lihat kolom α = 0.025 pada Tabel 2. Nilai α ini berasal dari α 0.05 dibagi 2, karena hipotesis HA kita adalah hipotesis 2 arah (lihat hipotesis). Kemudian, kita lihat baris ke 22. Nilai 22 ini adalah nilai df, yaitu n1+n2-2. Nilai n adalah jumlah ulangan, yaitu masing 12 ulangan. Akhirnya, kita peroleh nilai t table = 2.074.

t table = t α/2 (df) = t0.05/2 (n1+n2-2)=t0.025(12+12-2) = t0.025(22) = 2.074

Tabel 2. Nilai t

df

α
0.05 0.025 0.01

0.005

1

6.314 12.706 31.821 63.657
2 2.920 4.303 6.965

9.925

3

2.353 3.182 4.541 5.841
4 2.132 2.776 3.747

4.604

5

2.015 2.571 3.365 4.032

6

1.943 2.447 3.143

3.707

7 1.895 2.365 2.998

3.499

8

1.860 2.306 2.896 3.355
9 1.833 2.262 2.821

3.250

10

1.812 2.228 2.764 3.169
11 1.796 2.201 2.718

3.106

12

1.782 2.179 2.681 3.055
13 1.771 2.160 2.650

3.012

14

1.761 2.145 2.624 2.977
15 1.753 2.131 2.602

2.947

16

1.746 2.120 2.583 2.921
17 1.740 2.110 2.567

2.898

18

1.734 2.101 2.552 2.878
19 1.729 2.093 2.539

2.861

20

1.725 2.086 2.528 2.845
21 1.721 2.080 2.518

2.831

22

1.717 2.074 2.508 2.819
23 1.714 2.069 2.500

2.807

24

1.711 2.064 2.492 2.797
25 1.708 2.060 2.485

2.787

26

1.706 2.056 2.479 2.779
27 1.703 2.052 2.473

2.771

28

1.701 2.048 2.467 2.763
29 1.699 2.045 2.462

2.756

30

1.697 2.042 2.457 2.750
40 1.684 2.021 2.423

2.704

50

1.676 2.009 2.403 2.678
100 1.660 1.984 2.364

2.626

10000

1.645 1.960 2.327

2.576

4. Kriteria Pengambilan Kesimpulan

Terima H0, jika clip_image006thit| < t table, sebaliknya

Tolak H0, alias terima HA, jika clip_image006[1]thit| > t table

5. Kesimpulan

Karena nila clip_image006[2]thit|= 3.67 (tanda minus diabaikan) dan nilai t table=2.074, maka kita tolak H0, alias kita terima HA. Dengan demikian, clip_image002[22]1clip_image002[22]2, yaitu hasil padi yang dipupuk dengan pupuk A tidak sama dengan hasil padi yang dipupuk dengan pupuk B. Lebih lanjut, kita lihat bahwa rata-rata hasil padi yang dipupuk dengan pupuk B lebih tinggi daripada yang dipupuk dengan pupuk A. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa pupuk B nyata lebih baik daripada pupuk A untuk meningkatkan hasil padi.

Uji t berpasangan

November 4, 2010

Uji t dikembangkan oleh William Sealy Gosset. Dalam artikel publikasinya, ia menggunakan nama samaran Student, sehingga kemudian metode pengujiannya dikenal dengan uji t-student. William Sealy Gosset menganggap bahwa untuk sampel kecil, nilai Z dari distribusi normal tidak begitu cocok. Oleh karenanya, ia kemudian mengembangkan distribusi lain yang mirip dengan distribusi normal, yang dikenal dengan distribusi t-student. Distribusi student ini berlaku baik untuk sampel kecil maupun sampel besar. Pada n ≥ 30, distribusi t ini mendekati distribusi normal dan pada n yang sangat besar, misalnya n=10000, nilai distribusi t sama persis dengan nilai distribusi normal (lihat tabel t pada df 10000 dan bandingkan dengan nilai Z).

Pemakaian uji t ini bervariasi. Uji ini bisa digunakan untuk objek studi yang berpasangan dan juga bisa untuk objek studi yang tidak berpasangan. Berikut contoh penggunaan uji t.

Uji t berpasangan

Contoh kasus. Kita ingin menguji metode pembelajaran baru terhadap tingkat penguasaan materi ajar pada mahasiswa.

1. Hipotesis

Ho : clip_image0061 = clip_image0062

HA : clip_image0061clip_image0062

2. Data hasil penelitian dari penggunaan metode pembelajaran baru adalah sebagaimana tertera pada Tabel 1.

Tabel 1. Data hasil penelitian dari penggunaan metode pembelajaran baru

Mahasiswa

Nilai Pre-test Nilai post-test

1

70 75

2

60

65

3

50

70

4

65

80

5

55 60

6

40 60

7

45 70

8

65 70

9

60

65

10 70

75

11 60

65

12 50

75

13 30

65

14 45

70

15 40

70

3. Data analisis adalah sebagai berikut

Tabel 2. Tabel analisis data

 

Mahasiswa

Nilai Pre-test Nilai post-test Perbedaan

n

y1 y2 D D2
1 70 75 5

25

2

60 65 5 25
3 50 70 20

400

4

65 80 15 225
5 55 60 5

25

6

40 60 20 400
7 45 70 25

625

8

65 70 5 25
9 60 65 5

25

10

70 75 5 25
11 60 65 5

25

12

50 75 25 625
13 30 65 35

1225

14

45 70 25 625
15 40 70 30

900

Jumlah

805 1035 230

5200

Y 53.67 69

 

 

Hitunglah

S2D = [∑D2 – ((∑D)2/n)]/[n-1]

= [5200 –((230)2/15)]/[15-1] = (5200 – 1673.333)/14 = 119.5238

S = √S2D/n = √119.5238/15 = √7.968254 =2.82281

thit =(clip_image0061clip_image0062)/S = (53.67 – 69)/2.82281 = -15.33/2.82281= -5.43076

Setelah itu, kita lihat nilai t table, sebagai nilai pembanding. Cara melihatnya adalah sebagai berikut. Pertama kita lihat kolom α = 0.025 pada Tabel 3. Nilai α ini berasal dari α 0.05 dibagi 2, karena hipotesis HA kita adalah hipotesis 2 arah (lihat hipotesis). Kemudian, kita lihat baris ke 14. Nilai 14 ini adalah nilai df, yaitu n-1. Nilai n adalah jumlah mahasiswa, yaitu 15 orang. Akhirnya, kita peroleh nilai t table = 2.145.

t table = t α/2 (df) = t0.05/2 (n-1)=t0.025(15-1) = t0.025(14) = 2.145

Tabel 3. Nilai t

df

α
0.05 0.025 0.01 0.005

1

6.314 12.706 31.821 63.657
2 2.920 4.303 6.965

9.925

3

2.353 3.182 4.541 5.841

4

2.132 2.776 3.747

4.604

5 2.015 2.571 3.365

4.032

6

1.943 2.447 3.143 3.707
7 1.895 2.365 2.998

3.499

8

1.860 2.306 2.896 3.355
9 1.833 2.262 2.821

3.250

10

1.812 2.228 2.764 3.169
11 1.796 2.201 2.718

3.106

12

1.782 2.179 2.681 3.055
13 1.771 2.160 2.650

3.012

14

1.761 2.145 2.624 2.977
15 1.753 2.131 2.602

2.947

16

1.746 2.120 2.583 2.921
17 1.740 2.110 2.567

2.898

18

1.734 2.101 2.552 2.878
19 1.729 2.093 2.539

2.861

20

1.725 2.086 2.528 2.845
21 1.721 2.080 2.518

2.831

22

1.717 2.074 2.508 2.819
23 1.714 2.069 2.500

2.807

24

1.711 2.064 2.492 2.797
25 1.708 2.060 2.485

2.787

26

1.706 2.056 2.479 2.779
27 1.703 2.052 2.473

2.771

28

1.701 2.048 2.467 2.763
29 1.699 2.045 2.462

2.756

30

1.697 2.042 2.457 2.750
40 1.684 2.021 2.423

2.704

50

1.676 2.009 2.403 2.678
100 1.660 1.984 2.364

2.626

10000 1.645 1.960 2.327

2.576

4. Kriteria Pengambilan Kesimpulan

Terima H0, jika clip_image010thit| < t table, sebaliknya

Tolak H0, alias terima HA, jika clip_image010[1]thit| > t table

5. Kesimpulan

Karena nila |thit|= 5.431 (tanda minus diabaikan) dan nilai t table=2.145, maka kita tolak H0, alias kita terima HA. Dengan demikian,

clip_image0061clip_image0062, yaitu nilai pre-test tidak sama dengan nilai post-test. Lebih lanjut, kita lihat bahwa rata-rata nilai post-test lebih tinggi daripada nilai pre-test. Secara lengkap, kita dapat menyimpulkan bahwa metode pembelajaran baru secara nyata dapat meningkatkan pemahaman mahasiswa terhadap materi ajar yang diberikan.